DH 误差模型描述
对于自由度为 的机器人,假设 关节 参数的误差为:
则有:
(3-58)
其中, 为基于 参数的辨识模型。
假设 表示的辨识模型的冗余参数个数为 ,则相对应的辨识雅可比矩阵的列秩为 , 即线性相关的雅可比阵列组数为 ,且辨识雅可比矩阵为:
由上述结论可得, 通过分析串联机器人相邻两关节坐标系的冗余参数, 便 可得出该机器人所有的冗余参数 。
其中, 第 关节的 误差参数雅可比矩阵为:
而第 关节的 DH 误差参数雅可比矩阵为:
其中, 表示 参数误差到广义误差参数的转换矩阵。
对于相邻的两关节坐标系, 基于 DH 参数的雅可比阵列的线性组合为:
其中, 是任意常数, 若 等于零,则矩阵的 列满秩, 即模型不存在冗余参数。由于 中没有与第 个关节和第 个关节相关的参数, 因此可以由 代替 求得雅可比阵列的线性组合,这一点与广义误差模型类似。
基于 DH 模型的线性相关雅可比阵列
1. 测量末端位姿
矩阵 和 可由下面的式子得到:
将式(3-63) 代人式(3-62)。
(1) 若 , 即 且 , 则 全为 0 ,此时雅可比矩阵中不存在线性相关的列, 因此没有冗余参数。
(2) 若 , 即 或者 ,则 （3-64）
此时针对 的不同取值, 对 进行计算,并得到雅可比矩阵中线性相关的列。
a) 假设 , 则有:
将式(3-65) 代人式(3-62) 中, 得到如下的线性关系:
b) 假设 , 则有:
将式(3-67) 代人式(3-62) 中, 得到如下的线性关系:
2. 测量末端位置
不同条件下线性相关的雅可比阵列为:
(1) 假设 , 则有:
(2) 假设 且 , 则有:
(3) 假设 且 , 则有:
(4) 假设 且 , 则有:
上述式子表示了不同条件下线性相关的雅可比矩阵, 其中从式 (3-69)到式 (3-72), 线性相关的雅可比阵列也越来越多,表明了机器人几何构型的条件越 来越苛刻, 即模型的冗余参数越来越多。
DH误差冗余参数
综合前面几节内容可知, DH误差冗余参数有如下几种情况:
1. 同时测量机器人末端位置和姿态
(1) 相邻两关节轴线不平行, 则不存在冗余参数。
(2) 相邻两关节轴线平行但不共线, 则冗余参数为 。
(3) 相邻两关节轴线平行且共线, 几余参数为 、 。
2. 仅测量末端位置
(1) 若 ,即 轴与 轴距离不为零, 不影响末端位置,此时冗余参数为 ; 若 且 ,即 轴与 轴距离为零且相互不垂直, 与 均不影响末端位置, 则冗余参数为 、 。
(2) 若 且 , 即 轴与 轴距离为零且相互垂直, 同时 轴与 轴距离不为零, 与 均不影响末端位置,且 与 对末端位置会产生相同效果的影响, 则几余参数为 、、 。
(3) 若 且 ,即 轴与 轴距离为零且相互垂直,同时 轴与 轴距离也为零, 与 均不影响末端位置,且 与 与 对末端位置会产生相同效果的影响,此时冗余参数为 、 、 。
